[BOJ 16480] 외심과 내심은 사랑입니다

문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/16480

16480번: 외심과 내심은 사랑입니다

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아이디어

 

오일러 삼각형 정리를 아는지 묻는 기하문제이다.

위 정리는 삼각형의 외심과 내심 사이의 거리를 외접원과 내접원의 반지름을 통해 나타내는 정리이다.

 

d : 외심과 내심 사이의 거리

R : 외접원의 반지름

r : 내접원의 반지름

오일러 삼각형 정리는 각 변수를 위와 같이 정의할 때 다음과 같다.

 

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오일러 삼각형 정리 증명

 

오일러 삼각형 정리의 증명에 쓰이는  "방멱정리"와 "맨션정리"를 먼저 살펴보자.

 

1. 방멱정리

 

평면 위에 원이 있고, 내부의 점 P가 주어졌을 때,

점 P를 지나는 한 직선이 원과 만나는 점을 각각 A, C

점 P를 지나는 또 다른 직선이 원과 만나는 점을 각각 B, D라고 할 때, 다음과 같다.

 

 

 

맞꼭지각과 동위각에 의해 AA닮음인 삼각형 쌍을 발견하며, 닮음비를 세워 방멱정리를 증명할 수 있다.

 

 

2. 맨션정리

 

삼각형 ABC의 외접원 O와 내심 I에 대해, 직선 AI와 외접원 O가 만나는 A와 다른점을 D라 할 때,

BD=CD=DI가 성립한다.

각 IAB, IBC, ICA를 각각 x, y, z라고 할 때, 내심의 성질에 의해서 각 IAC, IBA, ICB의 값을 알 수 있다.

 

 

호 BD의 원주각과 호 CD의 원주각이 모두 같음을 알 수 있다.

 

 

각 BID는 삼각형 AIB의 외각이며, 각 CID는 삼각형 AIZ의 외각이다.

 

삼각형의 두 각이 크기가 같으므로 이등변 삼각형이며 두 변의 길이가 같음을 알 수 있다.

 

 

 

 

 

오일러 삼각형 정리

 

 

외심 O와 내심 I를 연결한 직선이 외접원과 만나는 점을 각각 P, Q

삼각형의 한 점 A에서 내심 I에 연결한 직선이 외접원과 만나는 점을 D라고 하자.

위의 그림에서 방멱정리에 따라 다음과 같은 식이 성립한다.  이 식을 각 선분의 길이인 R, r, d로 나타내보자.

 

-> 식1. 방멱정리

-> sin법칙

이 때, 맨션 정리에 의해 CD의 길이와 ID의 길이가 같으므로

 

 

식1에 각 선분의 길이를 대입하여 최종적으로 오일러 삼각형 정리를 유도하자.

 

 

 

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소스코드

#include <cstdio>
int main()
{
	long long R, r;
    scanf("%lld %lld", &R, &r);
    printf("%lld",R*(R-2*r));
    return 0;
}

R, r <= 100,000 이므로 overflow를 조심해야 합니다.

 

 

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방멱정리 그 자체인 간단한 문제

https://www.acmicpc.net/problem/16478

16478번: 원의 분할

 

 

 

 

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